Cổ góp – Wikipedia

Trong toán học, bộ chuyển đổi đưa ra một dấu hiệu về mức độ mà một hoạt động nhị phân nhất định không thể giao hoán. Có nhiều định nghĩa khác nhau được sử dụng trong lý thuyết nhóm và lý thuyết vòng.

Lý thuyết nhóm [ chỉnh sửa ]

Bộ chuyển đổi của hai yếu tố, g h nhóm G là thành phần

[ g h ] = g −1 h −1 gh . Nó tương đương với danh tính của nhóm khi và chỉ khi g h đi lại (nghĩa là, nếu và chỉ khi gh = hg ) . Nhóm con của G được tạo bởi tất cả các cổ góp được gọi là nhóm dẫn xuất hoặc phân nhóm cổ góp của G . Lưu ý rằng người ta phải xem xét nhóm con được tạo bởi bộ cổ góp vì nói chung, bộ cổ góp không được đóng trong hoạt động nhóm. Cổ góp được sử dụng để xác định các nhóm nilpotent và có thể giải được.

Định nghĩa trên của cổ góp được sử dụng bởi một số nhà lý thuyết nhóm, cũng như trong suốt bài viết này. Tuy nhiên, nhiều nhà lý thuyết nhóm khác định nghĩa máy chỉnh lưu là

[ g h ] = ghg −1 h −1 . [1][2]

) [ chỉnh sửa ]

Danh tính người chuyển đổi là một công cụ quan trọng trong lý thuyết nhóm. [3] Biểu thức a x biểu thị liên hợp của a bởi x được định nghĩa là x −1 ax .

Danh tính (5) cũng được biết đến như Bản sắc Witt Hall sau Philip Hall và Ernst Witt. Nó là một tương tự lý thuyết nhóm của bản sắc Jacobi cho cổ góp lý thuyết vòng (xem phần tiếp theo).

NB, định nghĩa trên của liên hợp a bởi x được sử dụng bởi một số nhà lý thuyết nhóm. [4] Nhiều nhà lý thuyết nhóm khác định nghĩa liên hợp của bởi x xax −1 . [5] Điều này thường được viết

x a { ^ {x} a}

. Bản sắc tương tự giữ cho các quy ước.

Nhiều danh tính được sử dụng là các nhóm con nhất định modulo thực sự. Chúng có thể đặc biệt hữu ích trong nghiên cứu các nhóm có thể hòa tan và các nhóm nilpotent. Ví dụ, trong bất kỳ nhóm nào, quyền hạn thứ hai hoạt động tốt:

Nếu nhóm phụ xuất phát là trung tâm, thì

Lý thuyết vành đai [ chỉnh sửa ]

Bộ chỉnh lưu gồm hai yếu tố a b của vòng hoặc đại số kết hợp được xác định bởi

Nó bằng 0 nếu và chỉ khi a b đi lại. Trong đại số tuyến tính, nếu hai biến thiên của một không gian được biểu diễn bằng các ma trận đi lại theo một cơ sở, thì chúng được biểu diễn theo mọi phương diện. Bằng cách sử dụng cổ góp làm khung Lie, mọi đại số kết hợp có thể được biến thành đại số Lie.

Công cụ chống cộng đồng của hai yếu tố a b của một chiếc nhẫn hoặc đại số liên kết được xác định bởi

Đôi khi dấu ngoặc [ ] + cũng được sử dụng để biểu thị các chất chống đối kháng, trong khi [ ] sau đó được sử dụng cho các cổ góp. [6] Anticommutator được sử dụng ít hơn so với máy chỉnh lưu, ví dụ, có thể được sử dụng để xác định đại số Clifford đại số và được sử dụng để rút ra phương trình Dirac trong vật lý hạt.

Cổ góp của hai toán tử hoạt động trên không gian Hilbert là một khái niệm trung tâm trong cơ học lượng tử, vì nó định lượng mức độ quan sát của hai toán tử được mô tả bởi các toán tử này. Nguyên lý bất định cuối cùng là một định lý về các cổ góp như vậy, nhờ vào mối quan hệ của Robertson, Schrödinger. [7] Trong không gian pha, các bộ chuyển đổi tương đương của các sản phẩm sao chức năng được gọi là khung trung thành của không gian đề cập.

Danh tính (lý thuyết vòng) [ chỉnh sửa ]

Cổ góp có các tính chất sau:

Danh tính đại số Lie [ chỉnh sửa ]